טריגו עם מעגל 2טריגונומטריה 571 · שיעור 20
טריגונומטריה · שאלון 571
שיעור 19 – טריגו עם מעגל 2
פרק 3 – טריגונומטריה עם מעגל
1נוסח השאלה
2סעיף א – רדיוס המעגל החוסם
📄 נוסח השאלה
במשולש ACD נתון: ∢A = 30 , AC = 10 , ושטח המשולש ACD שווה 16.
א. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ACD.
סעיף א – רדיוס המעגל החוסם
כדי להשתמש במשפט הסינוסים עם 2R צריך צלע והזווית שמולה. הזווית ∢A = 30 ידועה, ולכן צריך את הצלע שמולה – DC. נמצא אותה בשלושה שלבים.
שלב 1 – מוצאים את AD מנוסחת השטח. הצלעות AC ו־AD כולאות את הזווית ∢A:
S = 12 · AC · AD · sin∢A
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
נציב S = 16 , AC = 10 , ∢A = 30:
16 = 12 · 10 · AD · sin 30
נציב sin 30 = 0.5:
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
S = 12 · a · b · sin∢C
הזווית שבין a ו־b
הזווית שבין a ו־b
סעיף א – רדיוס המעגל החוסם · המשך
נציב sin 30 = 0.5:
16 = 12 · 10 · AD · 0.5
16 = 2.5 · AD
AD = 162.5 = 6.4
שלב 2 – מוצאים את DC במשפט הקוסינוסים. DC מול הזווית ∢A:
DC2 = AC2 + AD2 − 2 · AC · AD · cos∢A
📐 משפט הקוסינוסים
📐 משפט הקוסינוסים
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢C
הזווית ∢C מול הצלע c
הזווית ∢C מול הצלע c
סעיף א – רדיוס המעגל החוסם · המשך
DC2 = AC2 + AD2 − 2 · AC · AD · cos∢A
📐 משפט הקוסינוסים
נציב AC = 10 , AD = 6.4 שמצאנו, ∢A = 30:
DC2 = 102 + 6.42 − 2 · 10 · 6.4 · cos 30
DC2 ≈ 100 + 40.96 − 110.85 = 30.11
DC ≈ 5.49
שלב 3 – מוצאים את R במשפט הסינוסים:
📐 משפט הקוסינוסים
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢C
הזווית ∢C מול הצלע c
הזווית ∢C מול הצלע c
סעיף א – רדיוס המעגל החוסם · המשך
שלב 3 – מוצאים את R במשפט הסינוסים:
DCsin∢A = 2R
📐 משפט הסינוסים
נציב DC ≈ 5.49 , ∢A = 30:
5.49sin 30 = 2R
2R ≈ 10.97
R ≈ 5.49
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
סעיף א – רדיוס המעגל החוסם · המשך
R ≈ 5.49
בסרטון נכתב 5.48 (קיצוץ במקום עיגול של √30.11 = 5.487).
✅ פתרון סופי: R ≈ 5.49
📌 סיכום התשובות
סעיף א
R ≈ 5.49
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא